Vlnková transformace - rozšířené

Teprve zavedení MRA (multi-resolution analysis) koncem 90. let 20. století vedlo k častějšímu použití vlnkové transformace v praxi. Tato metoda umožňuje postupně rozložit obraz na tzv. aproximace (obsahující nízké prostorové frekvence) a detaily (obsahující vysoké prostorové frekvence), přičemž platí:. Tento vzorec říká, že je-li originální obraz, tak informace na úrovni rozkladu (jinými slovy na úrovni rozlišení) je obsažena v úrovni rozkladu . Vzhledem k tomu, že v úrovni je použito větší dilatace, mají obrazy získané pomocí vlnkové transformace na této úrovni horší prostorové rozlišení než na úrovni .

Podle teorie MRA je možné vlnkovou transformaci obrazu popsat následující rovnicí:

která říká, že v dané pozici je hodnota dána součtem sum přes všechny škály a všechny posuny mateřské vlnky vynásobené koeficienty detailů a aproximací na úrovni . Aproximace je dána sumou přes všechny posuny „škálovací“ funkce (z anglického scaling function) vynásobené koeficienty aproximace na úrovni rozkladu . Výpočet  a je proveden pomocí opakovaného používání dvou doplňujících se filtrů (low-pass) a (high-pass).

MRA je možné provádět tak, že po každém kroku dochází ke kompresi původního signálu o faktor , kde je provedený stupeň rozkladu. Původní obraz o velikosti 512x512 pixelů tak bude do druhého stupně rozkladu vstupovat ve velikosti 256x256, do třetího stupně ve velikosti 128x128 atd. V tomto případě se jedná o tzv. metodu DWT (decimated wavelet transform). Vzhledem k tomu, že je v každém kroku vlastně vypuštěna polovina pixelů obrazu, není tento druh transformace translačně invariantní. To znamená, že je rozdíl v tom, jestli budou vynechány všechny sudé nebo liché prvky. Po rekonstrukci tedy dostaneme dva rozdílné výsledky. Délka filtrů použitých pro provedení rozkladu zůstává stejná ve všech krocích, ale vůči zmenšující se velikosti obrazu se filtry relativně prodlužují.

Druhou možností provedení MRA je použití prodloužení jednotlivých filtrů a vynechání kompresního kroku – metoda UDWT (undecimated wavelet transform). Ve všech úrovních rozkladu mají potom koeficienty detailů a aproximací velikost shodnou se vstupním obrazem. Díky tomu je takto použitá transformace translačně invariantní a nedojde-li ke změně koeficientů (např. za účelem potlačení šumu), je možné docílit tzv. perfektní rekonstrukce (výstupní obraz se přesně shoduje se vstupním obrazem). Toto takzvané dyadické prodloužení filtrů se děje metodou A'Trous, která spočívá v doplnění nulových prvků mezi koeficienty filtru, kde je stupeň rozkladu, ve kterém má být filtr použit. UDWT je velmi dobře použitelná na rozklady obrazů v nukleární medicíně (ale i obecně všech nestacionárních signálů).

Oběma metodám je společné to, že při každé kompresi obrazu o faktor 2 nebo při každém dyadickém prodloužení filtru dochází k pokrytí pouze jedné poloviny zbývajícího spektra prostorových frekvencí. Tímto postupem by bylo nutné použít nekonečného množství úrovní rozkladu k tomu, aby bylo přesně popsáno kompletní spektrum prostorových frekvencí v daném obraze. Vzorce a však ukazují, že toto není nutné, neboť v každém kroku je původní signál dán součtem všech detailů až do maximální úrovně rozkladu a aproximace v dané úrovni rozkladu. Aproximace je získána s použitím škálovací funkce , která funguje jako low-pass filtr a vytváří obrazy připomínající obrazy vznikající s použitím průměrovacích filtrů. Z uvedeného vyplývá, že filtry (low-pass) a (high-pass) používané pro dekompozici obrazu v jednotlivých stupních rozkladu také můžeme označit jako škálovací a vlnkové filtry. Prvním krokem dekompozice je konvoluce původního obrazu s a . Následně dochází k dyadickému prodloužení filtrů a s jejich pomocí je provedena konvoluce aproximací z prvního stupně rozkladu. Celý proces je poté opakován až do dosažení požadované úrovně rozkladu.

Použití škálovací funkce k pokrytí oblasti prostorových frekvencí nepopsaných pomocí high-pass filtrů umožňuje zpětnou rekonstrukci signálu. Rekonstrukce ze získaných matic koeficientů se provede postupem obráceným k dekompozici. Opět se tedy jedná o sérii konvolucí detailů a aproximací s vhodnými rekonstrukčními filtry. K provedení rozkladu a rekonstrukci obrazu je tedy zapotřebí čtveřice filtrů (banka filtrů) často označovaných jako HiD (high-pass dekompoziční), LoD (low-pass dekompoziční), HiR (high-pass rekonstrukční), LoR (low-pass rekonstrukční). Teorie konstrukce filtrů použitelných pro konkrétní situaci je mimo rámec tohoto projektu.

Díky tomu, že jsou výše uvedené filtry konstruovány jako separabilní, tedy 2D konvoluci obrazu lze rozdělit na dvě 1D konvoluce (řádků a následně sloupců), je při rozkladu a rekonstrukci obrazu pomocí UDWT postupováno podle tohoto schématu. V dané úrovni rozkladu tedy vznikají celkem čtyři rozdílné matice –  (koeficienty aproximací), (koeficienty vertikálních detailů), (koeficienty horizontálních detailů), (koeficienty diagonálních detailů).

Návrat k vlnkovým transformacím (zde).