Filtrovaná zpětná projekce - rozšířený popis

SPECT zobrazování je založeno na faktu, že trojrozměrná podoba neznámého objektu (distribuce radiofarmaka) může být zrekonstruována na základě znalosti jeho dvourozměrných projekcí. Soubor takových projekcí je nazýván Radonovou transformací. Vznik projekce je možné popsat rovnicí:

, kde  je hodnota pixelu v objektu  v souřadnicovém systému detektoru pod úhlem pod kterým je pořizovaná daná projekce a dále   a .

Tento vztah však platí pouze pro případy, kdy všechny fotony záření gama vycházející ze zobrazovaného objektu (pacienta) dopadají kolmo na rovinu detektoru, což je v praxi zajištěno použitím kolimátoru s paralelními otvory. Rovnice také platí pouze v situaci, kdy při průchodu svazku záření zobrazovaným objektem nedochází k zeslabování a rozptylu svazku. Zobrazení matice pro všechna se nazývá sinogram, protože bodový zdroj mimo osu rotace systému se v pro   zobrazí jako sinusová křivka. Ze sinogramů pro jednotlivé řezy je následně prováděna rekonstrukce s použitím některé z dostupných rekonstrukčních metod.

Zpětná projekce využívá při rekonstrukci prostého promítnutí naměřených hodnot v projekci přes všechny pixely rekonstrukční matice pod daným úhlem. Výsledný obraz vzniká postupným sčítáním těchto průmětů. Vznik jednoho dvourozměrného řezu lze popsat rovnicí:

Při tomto rekonstrukčním postupu každá z projekcí přispívá naměřenou hodnotou do celé rekonstrukční matice pod daným úhlem. Při použití omezeného počtu projekcí lze v rekonstruovaném obrazu pozorovat „hvězdicový artefakt“, který při zvyšujícím se počtu projekcí zaniká. Výsledný obraz je také rozmazán a nachází se na vysokém pozadí. Rozmazání je způsobeno tím, že během zpětné projekce jsou hodnoty z každé projekce promítnuty přes celou obrazovou matici, protože se během pořizování planárních dat ztrácí informace o skutečné hloubce uložení zdroje záření (proto je v rovnici výše použito značení  a nikoli - zrekonstruovaný obraz není shodný s obrazem původním).

K potlačení rozmazání je na zrekonstruované obrazy možné použít vhodný dvourozměrný filtr. Vzhledem k výpočetní náročnosti takového postupu se však často volí jiný postup, který spočívá v jednorozměrné filtraci jednotlivých projekcí a jejich následné rekonstrukci. Tato metoda se nazývá

je filtrovaná projekce pořízená pod úhlem. Filtraci je možné provést buď konvolucí se zvoleným filtrem v prostorové oblasti nebo využít vlastnosti konvoluce ve vztahu k Fourierově transformaci a filtraci provést vynásobením Fourierových transformací projekcí a filtrů. Po provedení zpětné Fourierovy transformace se získají filtrované projekce .

Základní používaný filtr, který slouží k potlačení rozmazání obrazu způsobeného prostou zpětnou projekcí, se nazývá RAMP nebo Ramakrishan-Lakshiminarayanan (Ram-Lak) filtr. Jedná se o high-pass filtr, jehož amplituda monotónně roste s rostoucí prostorovou frekvencí. Tato jeho vlastnost způsobuje zesílení šumu, který má vysokou prostorovou frekvenci a v projekcích distribuce radiofarmaka je vždy přítomen. Výsledkem použití RAMP filtru je tedy obraz s potlačeným rozmazání způsobeného zpětnou projekcí avšak se zvýšenou hladinou šumu. K jeho potlačení je nutné použít uživatelský filtr - některý ze známých vyhlazovacích (low-pass) filtrů (Hann, Hamming, Butterworth apod.), které potlačují vysoké prostorové frekvence. Výsledný filtr je dán konvolucí RAMP filtru a uživatelského filtru nebo jejich násobením ve frekvenční oblasti.

RAMP filtr v prostorové oblasti (vlevo) a po převedení do frekvenční oblasti pomocí Fourierovy transformace.

Volba druhu uživatelského filtru, nastavení jeho vlastností, především hodnoty tzv. cut-off (případně řádů filtru), tedy maximální prostorové frekvence, kterou ještě filtr propustí, ovlivňuje míru potlačení šumu a rozmazání obrazu. Čím nižší hodnota cut-off tím menší množství šumu bude přítomné v rekonstruovaném obraze, ale obraz bude více rozmazaný (bude docházet ke ztrátě prostorového rozlišení). Hodnoty cut-off lze nastavovat v rozmezí od 0 (všechny prostorové frekvence jsou odstraněny) až do hodnoty 0,5 cyklu/pixel (není odstraněna žádná prostorová frekvence). Hodnota 0,5 cyklu/pixel se nazývá Nyquistovou frekvencí a jedná se o maximální prostorovou frekvenci, kterou dokáže zobrazovací systém přenést. U filtru typu Butterworth, jehož průběh ve frekvenční oblasti je na obrázku níže a je dán vztahem:

kde je hodnota cut-off a  je řád filtru, není nastavená hodnota cut-off rovna prostorové frekvenci, od níž budou všechny vyšší odřezány. Při nastaveném cut-off má Butterworth filtr amplitudu rovnou 0,5.

Ukázka filtru typu Butterworth se stejným řádem a rozdílnou hodnotou cut-off (vlevo) a rozdílným řádem a stejnou hodnotou cut-off (vpravo).

Návrat zpět k filtrované zpětné projekci (zde).
Návrat zpět k rekonstrukčním metodám (zde).