Fourierova rekonstrukce

Fourierova rekonstrukce je založena na tzv. centrálním řezovém (sekčním) teorému. Ten říká, že jednorozměrná Fourierova transformace projekce pořízené pod daným úhlem je rovna řezu 2D Fourierovy transformace obrazu objektu procházejícím středem pod stejným úhlem. Ilustrace tohoto principu je na následujícím obrázku.

je 1D Fourierova transformace projekce (jednoho řádku sinogramu daného řezu) a  jsou souřadnice ve frekvenční oblasti. 

Při provádění Fourierovy rekonstrukce je nejprve nutné provést 1D Fourierovu transformaci všech jednorozměrných projekcí (jednotlivých řádků sinogramu) a pod příslušným úhlem je vložit do matice ve frekvenčním prostoru. Transformované projekce se vkládají symetricky okolo středu souřadnicového systému ve frekvenčním prostoru (k-prostor - analogie s datovým prostorem obrazů magnetické rezonance).

Při vkládání dat do k-prostoru je však nutné provést převod z polárních souřadnic transformované projekce do kartézských souřadnic k-prostoru. Protože je však k-prostor rozdělen na jednotlivé diskrétní pixely, je tento převod spojen s interpolačními chybami. Vkládaná data hustě pokrývají k-prostor v jeho středu (obsahuje nízké prostorové frekvence – velké objekty), zatímco okrajové oblasti k-prostoru jsou pokryty řídce (viz. následující obrázek). Tyto bohužel reprezentují vyšší prostorové frekvence – tedy detaily v obraze. K lepšímu prokrytí této oblasti by bylo nutné použít vysoké množství projekcí, což však v nukleární medicíně naráží na celkovou délku vyšetření. Zároveň jsou projevy interpolačních chyb výraznější pro pixely k-prostoru ve větší vzdálenosti od jeho středu.

Ukázka pokrytí k-prostoru při Fourierově rekonstrukci v nukleární medicíně (značí úhlový krok, je vzorkovací vzdálenost (v kartézské soustavě souřadnic k-prostoru).

Následující simulace zobrazuje rozdíl mezi Fourierovou transformací originálního obrazu (pravý horní obrázek) a k-prostorem vzniklým s pomocí Fourierových transformací jednotlivých projekcí (pravý dolní obrázek). Rovněž je zřetelné, že se změnou interpolační metody od nejjednodušší (linear) k nejnáročnější (spline) se rozdíl mezi oběma obrazy v k-prostoru zmenšuje. Tomu odpovídá i vyšší kvalita rekonstrukce (samostatně na další simulaci).

Rozdíl mezi Fourierovou transformací originálního obrazu a jeho zrekonstruované podoby lze zobrazit i v samostatném panelu (zde).

Po provedení 1D Fourierových transformací jednotlivých projekcí a jejich převedení do k-prostoru se rekonstrukce provede v souladu s centrálním řezovým teorémem pomocí inverzní 2D Fourierovy transformace matice řezu v k-prostoru. Výsledkem je obraz řezu v prostorové oblasti.

U tohoto způsobu rekonstrukce je zcela zásadní výběr kvalitní interpolační procedury. Náročnější interpolační procedury však prodlužují délku rekonstrukce. Následující simulace umožňuje volit různé interpolační metody pro Fourierovu rekonstrukci. Výsledky rekonstrukce neodpovídají svojí kvalitou filtrované zpětné projekci, především v situacích, kdy jsou projekce zatíženy šumem. Fourierova rekonstrukce v nukleární medicíně není  běžně používanou rekonstrukční metodou.

Simulaci Fourierovy transformace lze zobrazit i v samostatném panelu (zde).

Návrat na rozcestník rekonstrukcí (zde).
Zpět na úvodní stránku s rozcestníkem.